как найти поверхностные интегралы

 

 

 

 

Поверхностные интегралы первого рода. Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией.Область интегрирования определяется как. Следовательно, интеграл равен. Пример 5 Найти интеграл , где S часть цилиндрической 2. Интегральное исчисление функций 3. Криволинейные и поверхностные интегралы Задачник.Найти массу поверхности полусферы. если в каждой её точке поверхностная плотность вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz. Самый естественный способ ввести поверхностный интеграл второго рода - рассмотреть поток жидкости через некоторую поверхность. Начнём с простого случая: жидкость течёт вдоль оси абсцисс с постоянной скоростью . Выделим перпендикулярную течению площадку и найдём 6. Поверхностные интегралы. п. 6.1. Поверхностный интеграл первого рода Рассмотрим некоторую поверхность и пусть уравнение этой поверхноПереходя к полярным координатам x r cos , y r sin и сводя к повтор-ному интегралу, находим. 2.

D. Найти поверхностный интеграл I-го рода: I xy d, где часть поверхности сферы x y z 5, расположенная внутри цилиндра x y 9 и в первом октанте (рис. 4)Таким образом, площадь поверхности можно найти с помощью поверхностного интеграла I-го рода: d. (6) 0 18. Если проекция D поверхности S на плоскость xOy однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл I родаПример 1. Вычислить массу отрезка прямой, заключенного между точками А(0-2), В(40), если . Решение. Найдем уравнение прямой АВ: y0,5x-2 тогда .

7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Рассмотрим двусторонний кусок поверхности который можно разбить на конечное число частей, каждая из которых либо изобразима уравнением вида либо ивляетси частью цилиндрической поверхноаи с образующими параллельными оси. Поверхностный интеграл по поверхности обозначают удвоенным значком интегралаКак решать поверхностные интегралы 1-го рода? Пример 1. С помощью поверхностного интеграла найти площадь фрагмента плоскости , расположенного в 1 октанте. Поверхностный интеграл первого рода. Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z) Аналогично вычисляются поверхностные интегралы первого типа по поверхности S через двойные интегралы по ее проекциям на.4.2). Заданный поверхностный интеграл будем вычислять по формуле (4.2), для чего найдем zx 2x, zy 2 y.Тогда, совершая в двойном. Поверхностные интегралы, как и криволинейные, делятся на интегралы первого и второго рода.Найти площадь поверхности z ху , отсекаемой плоскостями х у 1, х 0, у 0, z 0. Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость.Найдем интеграл по боковой поверхности. Если И функцию Рассматривать как поверхностную плотность.Для вычисления полученного двойного интеграла перейдем к полярным координатам Замечая, что в области Меняется от 0 до И - от 0 до 1, находим. Вычисляем поверхностный интеграл первого рода. Высшая математика доступно и просто.Как найти точный центр круга не пользуясь математикой - Продолжительность: 2:52 yanchuga 53 165 просмотров. Поверхностные интегралы первого рода. Пример Найти интеграл , где поверхность S часть сферы , лежащая в первом октанте.Поскольку , то интеграл можно записать в следующей форме: Область интегрирования определяется как Следовательно, интеграл равен. Тогда справедливо равенство Интеграл где на ж, можно истолковать как массу т оболочки, представляющей собой поверхность ir, на которой масса распределена с поверхностной плотностью Пример 2. Найти массу параболической оболочки плотность которой меняется по Поверхностные интегралы первого и второго рода. Пусть f(x, y, z) функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение, , , . Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода. Площадь поверхности S можно найти по формуле Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов. Пусть. — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на. задана функция. . Рассмотрим разбиение. этой поверхности на части. кусочно-гладкими кривыми и на каждой При этом поверхностный интеграл 1-го типа по по-верхности S сводится к двойному интегралу по области . Установим вид.Здесь же изображены векторы ru и rv, касательные к поверхности в выбранной точке. двойного интеграла. Для этого найдем, чему равна площадь 1) Поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности). Определение.Решение: Для нахождения площади поверхности используем поверхностный интеграл первого рода, для чего найдем данный интеграл К по поверхности W как сумму интегралов и по составляющим её частям и .Преобразуя поверхностные интегралы и в, так как прямоугольник ABCD есть общая проекция поверхностей и на плоскость xOz. Вычисляя полученный двойной интеграл, найдём Поверхностные интегралы первого рода. Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией.Область интегрирования определяется как. Следовательно, интеграл равен. Пример 5 Найти интеграл , где S часть цилиндрической Поверхностный интеграл. План: Введение. 1 Поверхностные интегралы. 2 Площадь гладкой поверхности.Поверхностный интеграл. Определение поверхностного интеграла опирается на разбитие поверхности на малые элементы. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. Нижний Новгород 2015.где (х0, у0), (х1, у1) начальная и конечная точки пути интегрирования. Функцию U(x, y) ( первообразную) можно также найти, вычисляя соот Моментом инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами: Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам Поверхностные интегралы 1-го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла 1-го рода являются по отношению к простым определенным интегралам.откуда находим. Глава 4. Поверхностные интегралы. Задача, приводящие к понятию поверхностного интеграла. Задача о массе поверхности. Требуется найти массу материальной поверхности , на которой распределена масса с плотностью . Найдем частные производные и их векторное произведение: Тогда элемент площади равен. Теперь несложно вычислить заданный поверхностный интеграл: Предел функции одной переменной. . Криволинейные интегралы второго рода. 23. Вычислить по дуге L параболы y x2 от точки А(-1,1) до точки В(2,4). Решение.Путь интегрирования определяется этим уравнением при 0 х 4. Приняв х за параметр, найдём dy 2dx и подставим в интеграл значения y и dy. Глава 7. Поверхностные интегралы. Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криво-линейных интегралов.8. Как с помощью поверхностного интеграла найти: a) площадь поверхности b) объем области, ограниченной замкнутой 6. Поверхностные интегралы. п. 6.1. Поверхностный интеграл первого рода Рассмотрим некоторую поверхность и пусть уравнение этой поверхноПереходя к полярным координатам x r cos , y r sin и сводя к повтор-ному интегралу, находим. 2. D. 2.Вычисление поверхностных интегралов I рода. 3.Поверхностный интеграл II рода и его свойства. 4.Приложения. ЛЕКЦИЯ N 48. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов I и II рода. 2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Пусть Ф — гладкая, двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек, определяемая параметрическими уравнениями (5.1) (или, что то же самое, в области. поверхности W . Поверхностным интегралом 1-го рода от функции. f ( x y z ) называется предел (если он существует) интеоси Oy (нормаль и ось Oy перпендикулярны), первый и тре-. тий интегралы нужно взять со знаком . Тогда находим. Ясно,что поверхностный интеграл первого рода обладает всеми свойствами двойного интеграла (см. первый вопрос). Вычисление. Если вдоль гладкой поверхности S, задаваемой уравнением , определяется функция. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Учебное пособие. Казань 2010.3. области D . Нашей задачей будет найти объем V тела V . Эта задача и приведет нас к определению двойного интеграла подобно тому, как за-дача о нахождении площади Поверхностные интегралы первого и второго рода. Векторный анализ. Теорема Остроградского.Если подынтегральная функция f(x,y,z)1, то поверхностный интеграл 1-го рода равен площади поверхности S: . (4.2). 1. Поверхностные интегралы первого рода (интегралы по площади поверхности). 1.1. Некоторые понятия.

12. Пример 4. Найти массу цилиндрической поверхности y 9 - z 2 , отсеченной плоскостями x 0, x 2, если поверхностная плотность m ky(x z) , где k const Данный интеграл удобно вычислять в сферических координатах. Физический смысл поверхностного интеграла 1 рода. Если - поверхность, с поверхностью плотностью , то масса поверхности равнас поверхностной плотностью . Решение. Массу поверхности найдем по формуле . Рассмотрим поверхность это параболоид вращения со Методические указания к практическим занятиям по теме «Криволи-нейные и поверхностные интегралы» предназначены дляпути интегрирования, и найти его значение, интегрируя сначала по дуге параболы y x2 от точки O(00) до точки A(2 4) , а затем по прямой, со . Примеры вычисления поверхностных интегралов рода: 1. Вычислить , где часть поверхности параболоида , отсекаемая плоскостью Находя вектор нормали к поверхности , можем найти и элемент поверхности . Теорема 1. Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее .Пример 1. Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M0 до точки M1. Вычисление площади поверхности через поверхностный интеграл первого рода.В соответствии с выше выведенными формулами, имеем. Из уравнения плоскости x y z 1 находим z 1 x y, и . Подставив эти выражения в интеграл, получим. . ПРИМЕР 7. Вычислить поверхностный интеграл , где — граница тела (рис.3). РЕШЕНИЕ: интегрирование производится по.Т.к. , а знаки интегралов противоположны, то . ПРИМЕР 9. Найти поток векторного поля на внутреннюю поверхность куба, ограниченного плоскостями. Найдем частные производные и их векторное произведение: Тогда элемент площади равен. Теперь несложно вычислить заданный поверхностный интеграл: Предел функции одной переменной. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода. Если поверхность задана на области D плоскости OXY функцией zz(x,y), то.Найти работу силы. где L - контур ОВА, пробегаемый в положительном направлении, и A(3,6), B(0,6), O(0,0). Если - цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси , то. . (1.24). 2. В общем случае вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к вычислению двойных интегралов. В результате получаем ответ: 16a2. Поверхностные интегралы первого рода. Примеры решения задач.dx dy, где G круг x2 y2 4. Переходя к полярным координатам x r cos , y r sin и сводя двойной интеграл к повторному, находим. УПРАЖНЕНИЯ. (см. поверхностные интегралы второго рода ). Вычислить, поверхностный интеграл второго рода где Ч верхняя сторона поверхности z отсеченной плоскостями (рис. 4.14).По формуле (4.26) (см. поверхностные интегралы второго рода ) находим. Замечание.

Полезное: